Pages

Everything will be funny and enjoyable when you face it with a couple of smile..

Wednesday, July 20, 2011

Koefisien Korelasi Kendall


KOEFISIEN KORELASI RANK KENDALL (τ)
1.    Pendahuluan
M.G kendall (1938) mengusulkan sebuah koefisien dengan sifat-sifat yang sama dengan ρ Spearman, tetapi dengan dasar logika yang berbeda. Noether (1981) menyarankan bahwa koefisien ini lebih mudah ditafsirkan dari pada ρ Spearman. Koefisien korelasi rank (peringkat) kendall merupakan suatu nilai yang menunjukkan derajat asosiasi atau korelasi antara 2 himpunan variable dalam sebuah penelitian yang telah disusun berdasarkan peringkatnya. Dimana, data yang tersedia merupakan sebuah sample random yang terdiri atas n pasangan hasil pengamatan (Xi, Yi). Dan data sekurang-kurangnya diukur pada skala ordinal, sehingga data X dan Y yang telah diamati dapat disusun peringkat/rank-nya. Batas nilai dari koefisien korelasi Kendall sama dengan koefisien korelasi pada umunya yakni .     akan bernilai 1 apabila variabel X dan Y berkoerelasi positif (seanding lurus) dan bernilai -1 apabila X dan Y berkorelasi negatif (berbanding terbalik).
Dalam menghitung nilai τ, perlu dikenal istilah concordant dan discordant. Ketika terdapat sejumlah nilai pengamatan (xi,yi) dan (xj,yj) dan xi > xj dan yi > yj juga, maka nilai pengamatan tyersebut dianggap sebagai pasangan serasi, wajar, atau condordant. Sedangkan  discordant merupakan keaadan sebaliknya. Dengan demikian, apabila pasangan concordant lebih banyak daripada pasangan discordant, maka nilai koefisien akan menjadi positif. sedangkan, Apabila pasangan tidak serasi lebih banyak daripada pasangan serasi, maka nilai koefisien akan menjadi negatif.


2.    Rumus dan Asumsi
Asumsi-asumsi yang digunakan dalam uji ini adalah sebagai berikut:
a.      Data yang tersedia merupakan sebuah sampel acak yang terdiri atas n pasangan hasil pengamatan (X1, Y1), entah angka atau bukan angka. Masing-masing pasanagn hasil pengamatan diperoleh dari dua pengukuran yang dilakukan terhadap unit asosiasi yang sama.
b.      Data sekurang-kurangnya diukur pada skala ordinal, sehingga dapat memeringkat masing-masing nilai X dalam hubungannya dengan nilai-nilai X lainyang teramati, dan masing-masing nilai Y dalam hubungannya dengan nilai-nilai Y yang teramati.

Adapun langkah-langkah perhitungan koefisien korelasi kendall antara lain sebagai berikut :
1)    Susunlah pasangan-pasangan (Xi, Yi) dalam kolom menurut besarnya nilai-nilai X, dari nilai X yang paling kecil, dalam hal ini nilai-nilai X berada dalam urutan yang wajar (natural order).
2)    Bandingkan setiap nilai Y, satu demi satu, dengan setiap nilai yang ada di sebelah bawahnya. Dalam melakukan pembandingan ini dapat dikatakan, bahwa suatu pasangan nilai-nilai Y (Y yang diperbandingkan dan Y yang dibawahnya) berada dalam urutan yang wajar bila Y yang di bawah lebih besar dari Y yang di atasnya. Dalam pada itu, dapat dikatakan bahwa suatu pasangan nilai-nilai Y berada urutan terbalik (reverse natural order) bila Y yang di bawah lebih kecil dari Y yang di atasnya
3)    Tetapkan Nc sebagai banyaknya pasangan berurutan wajar (concordant), dan  Nd sebagai banyaknya pasangan berurutan terbalik (discordant).
4)    Hitung S sebagai selisih antara Nc dan Nd  (S = Nc Nd)
5)    Hitung statistik uji koefisien dengan menggunakan rumus:

τ =

umumnya, skor maksimum dinotasikan dengan  
sehingga, rumus tau juga dapat dituliskan sebagai berikut:
τ =
dengan N adalah banyaknya pasangan variabel X dan Y
               
-          Rumus 2 (untuk observasi angka sama) :
Apabila terjadi angka yang sama, maka statistik uji Tau-Kendall `mengalami koreksi. Dan dapat mengikuti prosedur sebagai berikut :
a)    Susunlah hasil-hasil pengamatan dalam urutan yang wajar (meningkat), menurut besarnya nilai-nilai X.
b)    Untuk pasangan-pasangan dengan harga X yang sama, nilai-nilai Y-nyalah yang disusun secara meningkat. observasi-observasi yang berangka sama tersebut diberi rangking rata-rata yang dianggap setara dengan rangking andai kata tidak terdapat angka yang sama
c)    Hitunglah banyaknya pasangan Y yang berurutan wajar dan banyaknya pasangan Y yang berurutan terbalik, seperti yang dijelaskan sebelumnya, (tetapi jangan memperbandingkan nilai-nilai Y yang pasangan nilai X-nya sama)
d)    Hitunglah statistik uji Tau-Kendall dengan menggunakan rumus:

dimana:
e)    Tx = , t adalah banyak observasi berangka sama dalam tiap kelompok angka sama pada variabel X 
f)     Ty = , t adalah banyak observasi berangka sama dalam tiap kelompok angka sama pada variabel Y

3.    Uji Signifikansi
Setelah menghitung koefisien korelasinya, kita perlu menguji signifikansi dari nilai koefisien yang telah diperoleh. Artinya, perlu diuji apakah Variable X dan Y benar-benar saling berasosiasi/berhubungan atau independen (τ=0) pada nilai α (signifikansi) tertentu.
Jika suatu sampel random ditarik dari populasi tertentu yang tidak diketahui hubungan asosiasinya, maka untuk urutan ranking X tertentu, semua urutan ranking Y yang mungkin, memiliki peluang yang sama untuk terjadi dibawah Ho. Misalkan X telah diurutkan dengan susunan 1,2,3,…….N, maka setiap urutan Y yang mungkin memiliki peluang yang sama sebesar 1/N!.  Dengan Ho: Variabel-variabel dalam populasi tersebut independen (τ=0). Dalam pengujian ini, kita juga dapat menggunaka 3 hipotesis Alternatif,yaitu :
a.    Dua Sisi
H0 : X dan Y saling bebas
H1 :
b.    Satu Sisi
H0 : X dan Y saling bebas
H1 :
c.    Satu Sisi
H0 : X dan Y saling bebas
H1 :

Adapun langkah – langkah kaidah pengambilan keputusannya adalah sebagai berikut :
Jika sampel-sampel berukuran 4 hingga 40, gunakan Tabel Harga-Harga Kritis untuk Statistik Uji Tau Kendall yang menyediakan nilai-nilai kritis *tabel (Tabel Terlampir)
*        Untuk A (dua sisi)           : Tolak Ho pada taraf nyata , jika nilai hitung > positif nilai  tabel  atau   hitung  < daripada negatif nilai  tabel  untuk n dan taraf nyata
*        Untuk B (satu sisi)           :  Tolak Ho pada taraf nyata , jika nilai hitung > nilai  tabel  untuk n    dan taraf nyata .
*     Untuk C (satu sisi)          : Tolak Ho pada taraf nyata , jika nilai hitung < negatif nilai  tabel    untuk n dan taraf nyata
Prosedur tersebut dapat lebih jelas dari contoh berikut:
Contoh :
Diadakan sebuah studi untuk untuk merancang dan menguji sebuah metodologi untuk menentukan standar-standar untuk kerja penjualan (sales performance) secara analitik. Untuk itu mereka menghimpun data tentang benchmark achievement dan management rating  untuk 25 kawasan penjualan seperti tampak pada tabel dibawah ini. Mereka menghitung benchmark achievement dengan cara membagi sales volume dengan benchmark sales, dan management rating ditentukan dengan berdasarkan motivasi dan usaha yang ditunjukkan oleh masing-masing tenaga penjual.
Tabel Peringkatan teritorium berdasarkan benchmark achievement dan management rating
Territorium
Benchmark Achievement
Managemen Rating
1
2
4
2
9
7
3
7
20
4
23
17
5
5
5
6
17
7
7
16
6
8
25
24
9
4
3
10
10
21
11
20
18
12
15
9
13
8
8
14
11
10
15
1
1
16
21
14
17
14
15
18
3
11
19
13
13
20
18
19
21
22
25
22
19
16
23
24
23
24
6
22
25
12
12
 Sumber: David W. Cravens and Robert B, Woodruff, “An Approach for Determining Criteria of Sales  Performances”, J. Appl, Psychol, 57 (1973), 242-247
Apakah dari data ini memberikan bukti yang cukup untuk menyimpulkan bahwa benchmark achievement dan management rating memiliki pertalian yang lurus (berbanding lurus)?           
Penyelesaian:
Hipotesis:
H0 : benchmark achievement dan management rating independen
H1: benchmark achievement dan management ratingmemiliki pertalian lurus
Taraf nyata = 0,05
Statistik uji:
Mula-mula susun data tersebut seperti dalam kolom pertama pada tabel sebelumnya sehingga urutan X memiliki urutan yang wajar. Banyaknya pasangan Y yang berurutan wajar dan yang berurtan terbalik terhadap setiap nilai Y tampak dalam kolom kedua dan kolom ketiga
Tabel penyusunan data untuk menghitung   dalam contoh
Urutan-Urutan (X,Y)
Banyaknya pasangan-pasangan Y dalam urutan maju
Banyaknya pasangan-pasangan Y dalam urutan mundur
(1,1)
24
0
(2,4)
21
2
(3,11)
14
8
(4,3)
20
1
(5,5)
19
1
(6,22)
3
16
(7,20)
4
14
(8,8)
14
3
(9,2)
16
0
(10,21)
3
12
(11,10)
11
3
(12,12)
10
3
(13,13)
9
3
(14,15)
7
4
(15,9)
8
2
(16,6)
9
0
(17,7)
8
0
(18,19)
3
4
(19,16)
5
1
(20,18
3
2
(21,14)
4
0
(22,25)
0
3
(23,17)
2
0
(24,23)
1
0
(25,24)
0
0
                        Nc= 218                                              Nd=82


Sehingga S = Nc-Nd
      = 218-82
      = 136
Dan diperoleh statistik uji untuk Koefisien Korelasi Tau-Kendall:
hitung    


Keputusan:
Berdasarkan tabel harga-harga kritis untuk Statistik Uji Tau Kendall, diperoleh untuk n=25 dengan  bahwa tabel = 0,240
Karena hitung (=0,45) > tabel (=0,24) maka H0 ditolak.
Kesimpulan:
Ada pertalian lurus antara benchmark achievement dan management rating dalam populasi asal sampel, pada taraf nyata

Aproksimasi Sampel Besar
Jika sampel berukuran lebih besar dari 40, maka diterapkan aproksimasi sampel besar dengan menganggap bahwa distribusi sampel mendekati distribusi normal (z) tabel distribusi normal standar dengan menghitung z hitung terlebih dahulu dengan rumus:
hitung
Maka kaidah pengambilan keputusan untuk analisis koefisien Korelasi  Tau Kendall sebagai berikut:
*        Untuk A (dua sisi)       : Tolak H0 pada taraf nyata , jika nilai Zhitung > positif nilai Z tabel  atau   hitung  < daripada negatif nilai  tabel  untuk n dan taraf nyata o,5 - 
*        Untuk B (satu sisi)      :  Tolak H0 pada taraf nyata , jika nilai hitung > nilai  tabel  untuk n      dan taraf nyata o,5 - .
*        Untuk C (satu sisi)      : Tolak H0 pada taraf nyata , jika nilai hitung < negatif nilai  tabel    untuk n dan taraf nyata o,5 –
Pengujian hipotesis untuk aproksimasi sampel besar dapat dilihat dari contoh berikut:



Contoh:
Berikut adalah data tentang 30 anak (26 pria dan 4 wanita) yang mengikuti pelajaran membaca tambahan yang diselenggarakan oleh suatu pusat penelitian anak di sebuah universitas. Data tersebut dikumpulkan dalam rangka penyellidikan untuk meenentukan yang manakah dari beberapa variabel yang tampaknya berkaitan dengan peningkatan kemampuan membaca berkat suatu program penanganan khusus. Dari data tersebut, ujilah hipotesis nol yang menyatakan tidak adanya asosiasinya antara IQ dan peningkatan kemampuan membaca?

Klien
Peningkatan (X)
WISC IQ full scale (Y)
 Alvin
0,6
86
Barry
0,2
107
Chester
1,6
102
Dick
0,5
104
Earl
0,9
104
Floyd
0,5
89
Greg
0,8
109
Harry
0,8
109
Ivan
0,8
101
Jacob
0,4
96
Karl
1,8
113
Lewis
0,1
85
Marvin
0,9
100
Ned
0,2
94
Oscar
1,6
104
Peter
1,6
104
Quincy
0,0
98
Ralph
1,6
115
Rita
0,2
109
Simon
0,3
94
Tony
0,0
112
Uriah
1,0
96
Victor
1,3
113
Waldo
0,6
110
Walter
0,6
97
Wanda
0,5
107
Xavier
1,7
113
York
1,6
109
Yvonne
2,2
98
Zahra
1,5
106
















Sumber: S. Krippner., “ Correlates of reading Improvement”. J. Davel., Reading, 7 (1963), 29-39

Penyelesaian:
H0 : peningkatan kemampuan membaca dan IQ saling bebas
H1 : ada suatu pertalian yang entah lurus atau terbalik antara penigkatan kemampuan membaca dan IQ (

Taraf nyata
Statisitk uji:
Sebelum menghitung , disusun data terlebih dahulu seperti dalam tabel berikut.
Tabel  Data tentang 30 subjek yang mendaftarkan diri pada kursus peningkatan kemampuan membaca dalam lima minggu musim panas
Peningkatan (X)
WISC IQ full scale (Y)
Banyaknya pasangan-pasangan Y dalam urutan maju
Banyaknya pasangan-pasangan Y dalam urutan mundur
0,0
98
19
8
0,0
112
4
24
0,1
85
27
0
0,2
94
21
2
0,2
107
8
15
0,2
109
5
16
0,3
94
21
2
0,4
96
19
2
0,5
89
18
1
0,5
104
9
7
0,5
107
8
11
0,6
86
16
0
0,6
97
15
1
0,6
110
4
12
0,8
101
10
3
0,8
109
4
8
0,8
109
4
8
0,9
100
9
2
0,9
104
6
3
1,0
96
10
0
1,3
113
1
6
1,5
106
4
4
1,6
102
2
1
1,6
104
2
1
1,6
104
2
1
1,6
109
2
1
1,6
115
0
3
1,7
113
0
1

Selanjutnya dihitung:
dan
Sehingga diperoleh:

2 comments:

Uppa said...

maaf, equation rumusnya ga bisa tampil. :(

Anonymous said...

masuk halaman kedua gugel upe.. :D

Post a Comment